Intégrale d'une fonction continue

Définition

Soit $f$  une fonction continue sur un intervalle $I$ ,  $a$ et $b$ deux réels de  $I$  et  $F$  une primitive de $f$ sur $I$ .
Alors, l'intégrale de $a$ à $b$  de $f$ est le réel  $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x=F(b)-F(a)}}}$ .

Remarque
Le réel ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x}$   ne dépend pas de la primitive choisie pour $f$ sur $I$ .

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\text{e}}^{-x}-3x^2$ .
La fonction $f$ est continue   sur $\mathbb{R}$ .
La fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=-{\text{e}}^{-x}-x^3$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Alors ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)\text{d}x=F(1)-F(0)=[-{\text{e}}^{-x}-x^3{]}_0^1=-{\text{e}}^{-1}-1^3-(-{\text{e}}^{-0}-0^3)=-{\text{e}}^{-1}}$ .